混合积

三重积,又称混合积,是三个向量相乘的结果。向量空间中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重积,分别称作标量三重积向量三重积。设 a ,b ,是空间中三个向量,则 (a×bc 称为三个向量 的混合积,记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。中文名混合积外文名mixed product学    科数学作    用计算四面体的体积定    理 (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)别    称三重积

目录

  1. 标量三重积
  2. ▪ 定义
  3. ▪ 特性
  1. ▪ 其他记号
  2. ▪ 几何意义
  3. 向量三重积
  1. ▪ 定义
  2. ▪ 特性
  3. 应用

标量三重积

编辑

定义

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个赝标量。设 

 为三个向量,则标量三重积的定义为 

 .

特性

设 

 ,则有

证明

利用行列式的特性,可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值:

  任意对换两个向量的位置,标量三重积与原来相差一个负号:

若任意两个向量相等,则标量三重积等于零:

其他记号

有时候,标量三重积会以括号表示:

几何意义

几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值

证明以 b和 c来表示底面的边,则根据叉积的定义,底面的面积A为

 ,其中 

 是b与c之间的角,而高h 为 

 ,其中 

 是 

 与h之间的角。

 的大小限定为 

 。而向量 

 与a之间的角 

 则有可能大于90°( 

 )。也就是说,由于 

 与 h 平行, 

 的值要么等于 

 ,要么等于 

 。因此

 ,且 

 。我们得出结论:

 ,于是,根据点积的定义,它等于 

 的绝对值,即

 。证毕。

向量三重积

编辑向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积,其结果是个向量。

定义

对于三个向量 

 ,向量三重积的定义为

 。值得注意的是,一般来说,

 。

特性

以下恒等式,称作三重积展开拉格朗日公式,对于任意向量 

 均成立:

英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB,后面的出租车),但是不容易记住第一式跟第二式的变化,很容易搞混。 观察两个公式,可得到以下三点:两个分项都带有三个向量 ( 

 )。三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合。中间的向量所带的系数一定为正(此处为向量b)。
  在向量分析中,有以下与梯度相关的一条恒等式:

 这是一个拉普拉斯-德拉姆算子的特殊情形。

应用

编辑计算平行六面体的体积如右图所示,当a、b、c向量组成右手系时,平行六面体的体积V

平行六面体

平行六面体=[a b c] [1] 。参考资料

  • 1.同济大学数学系.高等数学(第六版下册).北京:高等教育出版社,2007:20-21

故宫一日导览路线图

路线安排:

午门—武英殿(书画馆)—文华殿(陶瓷馆)—太和门—太和殿—中和殿—保和殿—乾清门—乾清宫—交泰殿—坤宁宫—养心殿—西六宫区—御花园—东六宫区—奉先殿(钟表馆)—宁寿宫区(珍宝馆、戏曲馆)—神武门

具体行程:

从午门进入,观赏完武英殿的书画展,再前往参观文华殿的陶瓷馆,然后沿着中轴线游览太和门、外朝三大殿、乾清门、内廷后三宫。之后前往养心殿和西六宫区游览,再逛逛御花园。接着来到东六宫区,观览完毕后前往内廷东路的奉先殿参观钟表馆,之后来到宁寿宫区,参观珍宝馆、戏曲馆。最后从神武门离开。

贴士:

本条路线涵盖故宫大部分开放区域,面积较广、涉及展览较多,可根据自己的需求选择重点观览的点。

英语口语笔记2

1.moreover一般不再口语中使用。

2.有了because就不要再用so

3.举例时记住这两个没见过的口语用法:………..and stuff like that 以及:…….and things like that.

4.表示转折时,but比however更常用。

5.条件:if 和as long as。

6.on the other hand可以表示对比(这个用法不熟练),持此之外还有by contrast 和while,while用两三次完全很自然。

推荐网站:涵盖各种辩论话题支持与反对理由的网站

必须努力克服四种杀伤力极强的语法错误:

1.无视-ed

2.he she说反

3.犹豫说什么想留出缓冲时间时,可以用like……..   you know等地道的插入语

4.不加s的原则性问题

建议:录音并回放,查错并改正。

推荐两种特殊句式:定语从句和表示委婉的虚拟语气,但是注意不要过度使用,

英语口语笔记1

the vegetables are very rich in vitamin C

very juicy多汁的坚定地使用这个词

a balanced diet平衡的饮食

improve your eyesight提高视力

open-minded注意形容词及其写法
tend to be 是地道的“多半是“的常用短语,如:elderly people tend to be wiser and happier.The tend to be quiet and helpful.

develop a healthy lifestyle注意develope的地道用法。

raindrops雨点

 

英语翻译练习1

华山位于华阴市,距西安120公里。华山是秦岭的一部分,秦岭不仅分隔陕南与陕北,也分隔华南与华北。与从前人们常去朝拜的泰山不同,华山过去很少有人光临,因为上山的道路极其危险。然而,希望长寿的人却经常上山,因为山上生长着许多药草,特别是一些稀有的药草。自上世纪90年代安装缆车以来,参观人数大大增加。 继续阅读“英语翻译练习1”

英语短语句子积累笔记1,2

 

Deter crime遏制犯罪

 

Commit crimes

 

Argue认为

 

Live on a tight budget生活拮据

 

Face a long prison term面临长期刑期

 

Limit screen time减少看电子产品的时间

 

A climbing unemployment rate注意climbing 的使用

 

A country’s development relies on a supply of young workers.经济的发展需要年轻的劳动者。

 

Do self-study at night上晚自习

 

The development of the city has posed a threat to heritage sites.城市的发展对文化遗产构成威胁。

 

Break even收支平衡

 

Equal access to education can help tackle educational underachievement.本句很难,平等地接受教育能帮助解决学生成绩不好的问题。事实上”问题”一词根本不用翻译出来。

 

Exposure to different cultures can encourage creativity. “接触”一词用exposure恰到好处,促进创新用encourage creativity也相当地到。接触不同文化可以促进创新。

 

Give priority to 重视,中间没有a。如The government should give priority to welfare services.

 

Hold the key to决定了。如:Education may hold the key to one’s job prospects.

 

可以将using fossil fuels can cause damage换成the use of fossil fuels can cause damage

 

Overcrowd,及物动词,使过度拥挤。Building apartment helps solve overcrowding in cities.

 

Social status社会地位people from disadvantaged backgrounds贫穷的人

 

People need to work with those from diverse background(不同背景的人,用diverse).

 

Because of globalization,前面没有the.

Thorny problem棘手的问题

 

The media attract public attention by sensationalizing victims’ suffering. Sensationalizing 表示夸大,suffering表示伤痛,不可数。

 

A healthy state of mind (健康的心态)

 

Put sb at risk of illness

 

Criminal offence刑事犯罪,

政府应当将醉驾定为刑事犯罪

The government should make drunk driving a criminal offence.

 

The aging population has prompted (导致,促使)countries to raise the statutory retirement age.

 

Use force强制 remove sb from让某人离开(强制性)disruptive student 调皮捣蛋的,不要再用children with disruptive behaviors了,太罗嗦.

 

Address动词表示解决

 

Occasionally不是有时,而是偶尔,很少。Eyesore碍眼之物。

 

用governments或者the government,但是不能用government(高三已经学到了)。

 

重要性significance 历史文物historic relics,没有antique heritage这个说法,而且heritage不可数。

Historic relics should be preserved for their historical significance.

 

School activities can be designed to give children a sense of accomplishment and to promote their well-being.注意a sense of achievement成就感 以及promote well-being提高幸福感的固定搭配。Well-being为幸福的名词。

 

Break the mould打破陈规they are encouraged to break the mould.

 

Commuting time 上下班时间 prolong延长,动词

 

Environmental degradation环境破坏 attribute to 归咎于

Most of the environmental degradation is attributed to human activities.

 

接触暴力内容be exposed to violent content(content表示内容的时候不可数)

 

家庭环境被认为对小孩成长的影响最重要 The family environment is believed to be the most important influence on children’s development.这个句式不熟悉,要牢记!!!

 

Community’s cohesion will be enhanced.社区凝聚力将被加强

 

A threat to对…的威胁

 

 

微积分重点 2 微积分总览

微积分是关于两个函数之间关系的学科。如速度和距离,爬山高度和速度(方向)。

如用f(t),f表示距离,t表示时间,这是函数一。而速度s(speed)是函数二。

函数一和函数二的关系是s=df/dt。读作dfdt,不读中间的除号。以后再搞清楚他们的含义。

一个例子:恒定速度:

因为速度恒定,速度s可以直接用f/t得到。

随后我们想到问题,如何从速度得到距离?

很自然,因为s=f/t,那么f=s*t。

现在进入微积分范畴:

从函数一到函数二的过程叫微分学,函数二到一叫积分学。

速度以直线方式增大,我们要给出距离的公式或方程。函数一表示函数二图像下方的面积。本例中为三角形,面积为$$f=\frac{1}{2}at^2$$。这样我们找出了遗失的信息。速度告诉我们距离是如何累加的,距离就像一个总和,每一时刻的速度只是一个瞬时值。速度等于t点的斜率。即:如果$$f=\frac{1}{2}at^2$$,那么$$\frac{df}{dt}=at$$,你又一次看见了法则,系数降为1,将2乘下来和二分之一相约得到a。

这就是微积分重点开头的全部内容。