泰勒公式以及应用

 

 

 

 

 

泰勒公式及其应用

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

泰勒公式及其应用

 


引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.


预备知识

定义2.1 若函数在存在阶导数,则有


(1)

这里为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.

当=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

 

定义2.2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则 ,

(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)为在的泰勒公式.

当=0时,(2)式变成

称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

常见函数的展开式:

.

.

.

.


.

定理2.1 (介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若为介于 与之间的任何实数,则至少存在一点,使得

.

3
泰勒公式的应用

3.1 利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.

例3.1 求极限.

分析:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

由,得

,

于是

.

例3.2极限 .

分析:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和sinx, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

解:

,



于是


例3.3利用泰勒展开式再求极限 

解:   



注解

现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为,从而


时,,应为  

3.2 利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.

例3.2 当时,证明.

证明 取,,则


带入泰勒公式,其中 =3,得

,其中.


当时,.

 

3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.

3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性

例3







由于收敛,所以

例3.3 讨论级数的敛散性.

分析:直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.

因为

,

所以

,

所以


故该级数是正向级数.

又因为

,

所以

.

因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

  1. 设f(x)在上二阶可导,且,对,
    证明:
    在内存在唯一实根.    

分析:这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.

证明 因为,所以单调减少,又,因此x>a时,,故f(x)在上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有


由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.

3.5 利用泰勒公式判断函数的极值

例3.5 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.

(i)若,则在取得极大值.

(ii) 若,则在取得极小值.

证明 由条件,可得f在处的二阶泰勒公式

.

由于,因此

.(*)

又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有

,

即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.

3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.

例3.6 求的幂级数展开式.

利用泰勒公式


3.7 利用泰勒公式进行近似计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为

,

其误差是余项.

例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001

先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式:

,

其中(在0与x之间).

令,要使


则取即可.

因此


当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.

例3.8 求的近似值,精确到.

因为中的被积函数是不可积的(即不能用初级函数表达),现用泰勒公式的方法求的近似值.

在的展开式中以代替 x得

逐项积分,得


上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知


 

 

3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值

如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.

例3.9 求函数在x=1处的高阶导数.

设x=u+1,则

,,

在u=0的泰勒公式为

,

从而

,

而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的展开式知的项为,因此

,

.

 

3.9 利用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看做x的函数(一般是x的n次多项式),记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.

例 3.10 求n阶行列式

D= (1)

记,按泰勒公式在z处展开:

, (2)

易知

(3)

由(3)得,.

根据行列式求导的规则,有


于是在处的各阶导数为

,

,

… … … …



把以上各导数代入(2)式中,有


若,有,

若,有.

  1. 总结

本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念;

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;

3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】

1、无穷小与无穷大;

2、无穷小的比较;

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;

4、求极限的方法。

【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了数列的极限、(、)函数的极限、(、)函数的极限这七种趋近方式。下面我们用

*表示上述七种的某一种趋近方式,即


定义:当在给定的*下,以零为极限,则称是*下的无穷小,即。

例如,



注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。

定义: 当在给定的*下,无限增大,则称是*下的无穷大,即。显然,时,都是无穷大量,

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如


, ,

所以当时为无穷小,当时为无穷大。

2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,

则为无穷小;反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。

小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系:

定理1 其中是自变量在同一变化过程(或)中的无穷小.

证:(必要性)设令则有


(充分性)设其中是当时的无穷小,则



意义

(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

(2)

3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.


定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

,,

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如,观察各极限:



不可比.

极限不同, 反映了趋向于零的”快慢”程度不同.

1.定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且





例1

证:

例2


2.常用等价无穷小:

(1)~; (2)~; (3)~;

(4)~; (5)~; (6)~

(7)~ (8)~ (9)~

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:


例如

3.等价无穷小替换

定理:

证:

例3 (1); (2)

解: (1)
故原极限= 8

(2)原极限==

例4

错解: =0

正解:

故原极限

注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

例5

解:

原式

三、极限的简单计算

1. 代入法:直接将的代入所求极限的函数中去,若存在,即为其极限,例如;若不存在,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式,我们可以用以下的方法来求解。

2. 分解因式,消去零因子法

例如,。

3. 分子(分母)有理化法

例如,



    

又如,

4. 化无穷大为无穷小法

例如,,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出


 

又如,,(分子分母同除)。

再如,,(分子分母同除)。

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

例如,,(无穷小量乘以有界量)。

又如,

解:商的法则不能用


由无穷小与无穷大的关系,得

再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§1.4例3—例5)

7. 分段函数、复合函数求极限

例如,

解:



左右极限存在且相等,

【启发与讨论】

思考题1:


解:


无界,



不是无穷大.

结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2:若,且,问:能否保证有的结论?试举例说明.

解:不能保证. 例

思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?

解:不能.例如当时都是无穷小量

不存在且不为无穷大,故当时和不能比较.

【课堂练习】求下列函数的极限

(1);

解:原极限=

(2)求

分析】 “”型,拆项。

解:原极限===

(3) ;

分析】”抓大头法”,用于型

解:原极限==,或原极限

(4);

分析】分子有理化

解:原极限===

(5)

分析】型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。

: ===

(6)

分析】””型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。

:原极限==6

(7)

解: 先变形再求极限.


【内容小结】

一、无穷小(大)的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.

1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.

2、几点注意:

(1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数;

(2) 无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.

(3) 无界变量未必是无穷大.

二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.

三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);

a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;

d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限.

 

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

前言 设f在某内有定义,若

则称f为当时的无穷小量

设当时,f于g均为无穷小量

若 则称f于g是当时的等价无穷小量。记作


一 、等价无穷小在求函数极限中的应用

1求函数的极限技巧很强,可利用无穷小等价的关系,简化了求某些 型的极限的计算

引理 设函数(x),(x)满足下列条件:

在a的某个去心邻域内均有非零导数

  1. Limf(x)=0,;


(3)当f(x),>0时, =1

证明 由洛比塔法则;

;


=,证毕

定理1 设函数f(x),g(x)及,满足下列条件:

(1)在a的某去心邻域内均有导数

(2)在xa时,均为无穷小量,

,,于是;


  1. 若f(x), >0,且,则

证明 由引理

(1)


(2)


如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些型的极限时将很方便. 如时, 等,均为无穷小量,且



例1 求下列函数的极限

(1)


(1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=

(5)原式=

例2 求下列函数的极限


(1) 原式=(其中,)

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=

(5)原式=

(6)原式=

(其中)

所谓等价无穷小,是指在同种变化趋势下,和 都是无穷小,且0,如果,那么和是等价无穷小,记。这意味着在这一极限过程中,和趋近于零的速度基本相同。例如因为,,所以当时,都是等价无穷小,即。

常见的等价形式有:时,,

2 对不定式极限型的计算

定理2 若在同一极限过程中,a,b是无穷小且则

该定理表明,对型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换只限于整个分子(分母)及其乘积因子,当分子或分母为代数和时,对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如:

求极限时,sinx~x,tanx~x对原式作无穷小替换将导致错误的结果:原式=(正确结果为)

例3 因为当


原式==

例4




使用等价无穷小,当


上式=

例5

它是型,按以前的求极限方法,它是不能用等价无穷小来代替,用洛必达法则计算

原式=

很显然,这个题目直接用洛比达法则求解太繁,我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到:当时,有


原极限=

可见,对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则,会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换,再使用等价无穷小,就很容易求得答案了。

3 数列极限的若干计算法

(1)极限的四则运算法则

若{}与{}为收敛数列,则{},{},{}也都是收敛数列,其有


例6





(2) 利用重要极限求数列的极限

两个重极限分别为

例7



(3)单调有界数列法

这一方法是利用极限理论基本定理:单调有界数列必有极限,其方法为:(1)判定数列是单调有界的,从而可设其极限为A。(2)建立数列相邻两项之间的关系式。(3)在关系式两端取极限,得以关于A的方程,若能解出A,问题得解。

例8求数列

其中(a>0)极限

解: 设,…

则{}是单调有界数列,它必有极限,设其极限为A在

两边取极限得即

所以,因为A>0所以


(4)利用定积分计算

计算项数无限增多的无穷小量之和,有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题,从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式,也可试用本方法,只式要先取对数将问题转化为和的形式。

例9 计算


先考虑,从而有


因此

(5)变上限积分的极限

常用的变上限积分的等价无穷小有:


其中

上述等式可以用洛比塔法则直接证明,证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小,由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小,即是:

定理3 若当存在,,则。

证明:

 

由此定理还可以得出如下结论,例如:


例10

原式=

例 11

原式=

(6)幂指数数激增和Taylor公式使用

定理4 设,且


证明


例12

因为,当时,有

,所以

原式=

 

 

例13



因此,原式=

综上所述,我们看到等价无穷小的应用非常广泛,但还是要具体情况具体分析,同时结合洛比达法则,选择合理恰当的方法进行求解

 

 

二、 等价无穷小在求函数极限过程中的推广

定理5 若在同一极限过程中,有等价无穷小则

当时,

(存在或为无穷大)

当时,

(存在或为无穷大)

证明 仅证(1),同理可证(2)


 

得。

又因


再由定理,可知(存在或为无穷大)

例14


因时,

且 故由定理有

原式=

=

 

例15


因时,

故由定理有

原式=


定理6 若在同一极限过程中,有等价无穷小,

则(存在或为无穷大)

证明 定理3 若在同一极限过程中,有等价无穷小则


=A

证明

例16

因时,

故由定理有 原式=

 

 

 

 

 

附:常用积分公式



  1. +c














  2. dx

  3. +c






  4. cos2x+c

  5. dx=

 

等价无穷小替换

sinxx tanxx

arcsinxx arctanxx

ln(1+x)x

1cosxsinxx

xsinx1xlna



 

求极限的常用方法


排列组合 “n个球放入m个盒子m”问题 总结

1.球同,盒不同,无空箱

C(n-1,m-1), n>=m
0, n<m

使用插板法:n个球中间有n-1个间隙,现在要分成m个盒子,而且不能有空箱子,所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可

2.球同,盒不同,允许空箱

C(n+m-1,m-1)

我们在第1类情况下继续讨论,我们可以先假设m个盒子里都放好了1个球,所以说白了就是,现在有m+n个相同的球,要放入m个不同的箱子,没有空箱。也就是第1种情况

3.球不同,盒相同,无空箱

第二类斯特林数dp[n][m]
dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1<=m=0
dp[k][0]=0,k>=1
0,n<m

这种情况就是第二类斯特林数,我们来理解一下这个转移方程。

对于第n个球,如果前面的n-1个球已经放在了m个箱子里,那么现在第n个球放在哪个箱子都是可以的,所以m*dp[n-1][m];

如果前n-1个球已经放在了m-1个箱子里,那么现在第n个球必须要新开一个箱子来存放,所以dp[n-1][m-1]

其他的都没法转移过来

4.球不同,盒相同,允许空箱

sigma dp[n][i],0<=i<=m,dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数

这种情况就是在第3种情况的前提下,去枚举使用的箱子的个数

5.球不同,盒不同,无空箱

dp[n][m]*fact[m],dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数,fact[m]为m的阶乘

因为球是不同的,所以dp[n][m]得到的盒子相同的情况,只要再给盒子定义顺序,就等于现在的答案了

6.球不同,盒不同,允许空箱

power(m,n) 表示m的n次方

每个球都有m种选择,所以就等于m^n

7.球同,盒同,允许空箱

dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m], n>=m
dp[n][m]=dp[n][m-1], n<m
边界dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1

现在有n个球,和m个箱子,我可以选择在所有箱子里面都放上1个球,也可以不选择这个操作。

如果选择了这个操作,那么就从dp[n-m][m]转移过来

如果没有选择这个操作,那么就从dp[n][m-1]转移过来

8.球同,盒同,无空箱

dp[n-m][m],dp同第7种情况,n>=m
0, n<m

因为要求无空箱,我们先在每个箱子里面放1个球,然后还剩下n-m个球了,再根据情况7答案就出来了


本文为转载文章:

作者:逍遥丶綦
来源:CSDN
原文:https://blog.csdn.net/qwb492859377/article/details/50654627

Academic writing textbook

Reading and Writing

2018, 9

Text 1

Infantile Amnesia

1 What do you remember about your life before you were three? Few people can remember anything that happened to them in their early years. Adults’ memories of the next few years also tend to be scanty稀有的. Most people remember only a few events–usually ones that were meaningful and distinctive, such as being hospitalized or a sibling’s birth.

2 How might this inability to recall early experiences be explained? The sheer passage of time does not account for it; adults have excellent recognition of pictures of people who attended high school with them 35 years earlier. Another seemingly plausible explanation–that infants do not form enduring memories at this point in development-also is incorrect. Children two and a half to three years old remember experiences that occurred in their first year, and eleven month olds remember some events a year later. Nor does the hypothesis that infantile amnesia reflects repression—or holding back—of sexually charged episodes explain the phenomenon. While such repression may occur, people cannot remember ordinary events from the infant and toddler periods either.

3 Three other explanations seem more promising. One involves physiological changes relevant to memory. Maturation of the frontal lobes of the brain continues throughout early childhood, and this part of the brain may be critical for remembering particular episodes in ways that can be retrieved later. Demonstrations of infants’ and toddlers’ long-term memory have involved their repeating motor activities that they had seen or done earlier, such as reaching in the dark for objects, putting a bottle in a doll’s mouth, or pulling apart two pieces of a toy. The brain’s level of physiological maturation may support these types of memories, but not ones requiring explicit verbal descriptions.

4 A second explanation involves the influence of the social world on children’s language use. Hearing and telling stories about events may help children store information in ways that will endure into later childhood and adulthood. Through hearing stories with a clear beginning, middle, and ending children may learn to extract the gist of events in ways that they will be able to describe many years later. Consistent with this view parents and children increasingly engage in discussions of past events when children are about three years old. However, hearing such stories is not sufficient for younger children to form enduring memories. Telling such stories to two year olds does not seem to produce long-lasting verbalizable memories.

5 A third likely explanation for infantile amnesia involves incompatibilities between the ways in which infants encode information and the ways in which older children and adults retrieve it. Whether people can remember an event depends critically on the fit between the way in which they earlier encoded the information and the way in which they later attempt to retrieve it. The better able the person is to reconstruct the perspective from which the material was encoded, the more likely that recall will be successful.

6 This view is supported by a variety of factors that can create mismatches between very young children’s encoding and older children’s and adults’ retrieval efforts. The world looks very different to a person whose head is only two or three feet above the ground than to one whose head is five or six feet above it, older children and adults often try to retrieve the names of things they saw, but infants would not have encoded the information verbally. General knowledge of categories of events such as a birthday party or a visit to the doctor’s office helps older individuals encode their experiences, but again, infants and toddlers are unlikely to encode many experiences within such knowledge structures.

7 These three explanations of infantile amnesia are not mutually exclusive: indeed, they support each other. Physiological immaturity may be part of why infants and toddlers do not form extremely enduring memories, even when they hear stories that promote such remembering in preschoolers. Hearing the stories may lead preschoolers to encode aspects of events that allow them to form memories they can access as adults. Conversely, improved encoding of what they hear may help them better understand and remember stories and thus make the stories more useful for remembering future events. Thus, all three explanations– physiological maturation, hearing and producing stories about past events, and improved encoding of key aspects of events–seem likely to be involved in overcoming infantile amnesia.

Questions:

Paragraph 2:

1. What purpose does paragraph 2 serve in the larger discussion of children’s inability to recall early experiences?

○To argue that the ones that are not substantiated/ validated by evidence should generally be considered unreliable

○To argue that the hypotheses mentioned in paragraph 2 have been more thoroughly researched than have the theories mentioned later in the passage

○To explain why some theories about infantile amnesia are wrong before presenting ones more likely to be true

○To explain why infantile amnesia is of great interest to researchers

2. The word plausible in the passage is closest in meaning to

○flexible

○believable

○debatable

○predictable

3. The word phenomenon in the passage is closest in meaning to

○exception

○ repetition

○occurrence

○idea

4.All of the following theories about the inability to recall early experiences are rejected in paragraph 2 EXCEPT:

○The ability to recall an event decreases as the time after the event increases.

○Young children are not capable of forming memories that last for more than a short time.

○People may hold back sexually meaningful memories.

○Most events in childhood are too ordinary to be worth remembering.

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英语写作技能:Avoid hidden verbs

将作文给外教检查,发现在很多短语下画满了红线。这些用法都是语法上正确的,但是却得到了批注:avoid hidden verbs,搜索后找到了美国政府的官方语用指导文件,找到了如下资料,供参考。原文:https://plainlanguage.gov/guidelines/words/avoid-hidden-verbs/

Use the strongest, most direct form of the verb possible.

Verbs are the fuel of writing – they give your sentences power and direction. They liven up your writing and make it more interesting. Too often, we hide verbs by turning them into nouns, making them less effective and using more words than we need.

Government writing is full of hidden verbs. They make our writing weak and longer than necessary. Say “we manage the program” and “we analyze data” not “we are responsible for management of the program” or “we conduct an analysis of the data.”

What are hidden verbs?

A hidden verb (or nominalization) is a verb converted into a noun. It often needs an extra verb to make sense. For example, “Please make an application for a personal loan” is longer and less clear than “Please apply for a personal loan.”

Hidden verbs come in two forms. Some have endings such as -ment-tion-sion, and -ance or link with verbs such as achieveeffectgivehavemakereach, and take.

Don’t saySay
To trace the missing payment, we need to carry out a review of the Agency’s accounts so we can gain an understanding of the reason the error occurred.To trace the missing payment, we need to review the Agency’s accounts so we understand the reason the error occurred.
If you cannot make the payment of the $100 fee, you must make an application in writing before you file your tax return.If you cannot pay the $100 fee, you must apply in writing before you file your tax return.
This means we must undertake the calculation of new figures for the congressional hearing.This means we must calculate new figures for the congressional hearing.
The production of accurate statistics is important for the committee in the assessment of our homelessness policy.Producing accurate statistics is important to the committee in assessing our policy on homelessness.

Hidden verbs also occur when we turn verbs into nouns by adding endings such as -ing-tion-ment, or -sion and placing the longer word between the words “the” and “of.”

Uncovering the hidden verb usually forces you to rephrase your sentence and cut out other poor habits such as wordy phrases. Hidden verbs often go hand in hand with passive verbs and combine to give an officious and longwinded style.

Sources

  • Charrow, Veda R., Erhardt, Myra K. and Charrow, Robert P., Clear & Effective Legal Writing, 4th edition, 2007, Aspen Publishers, New York, NY, pp. 176-178.
  • Garner, Bryan A., Legal Writing in Plain English, 2001, University of Chicago Press, Chicago, p. 38 (14.).
  • Kimble, Joseph, Lifting the Fog of Legalese, 2006, Carolina Academic Press, Durham, NC, p. 71 (D.4).
  • Securities and Exchange Commission, Plain English Handbook, 1998, Securities and Exchange Commission, Washington, DC, p. 21.
  • Wright, Nick, Hidden Verbs.

数列的上/下确界与上/下极限的区别和联系

文章转载自知乎 Jason Huang,原文地址https://zhuanlan.zhihu.com/p/23859974,仅用于个人收藏资料,侵删。

顾名思义(感性认识),上/下确界,数列最小的上界或最大下界。而上/下极限,则是强调当

n\rightarrow\infty

时数列或者集合收敛子列的最大/最小的极限。这篇文章的封面非常好的阐述了这一点。

A_{n}=\frac{1}{n}, n\in\mathbb{Z}
\left(0,1\right]
A_{n}
A_{n}
B_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{n}{1+n}, n\in\mathbb{Z}
\left\{ -\frac{1}{2},  \frac{2}{3},\cdots, \frac{2n}{2n+1} , -\frac{2n+1}{2n+2} ,\cdots\right\}
B_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}, k\in\mathbb{Z}
B_{2k}=\frac{2k}{2k+1}, k\in\mathbb{Z}


例1
数列, 展开为,数列限制在,因此大于等于1的数都是的上界,但是最小的上界为1,也即上确界为1;小于等于0的所有实数都是的下界,但是最大的下界是0,也即下确界为0。上下确界是为了确定整个数列所有元素的界限。

而上下极限也用来描述无穷状态下的情况,在这里所有无穷子列都收敛到0,因此上极限为0,下极限也为0.


例2
数列, 展开为,其基数列为, 其偶数列为, 观察下图

如上图所示,整个数列都限制在

\left(-1,1\right)

,所有大于等于1的实数都是

B_{n}

的上界,但是最小的上界是1,也即上确界为1;所有小于等于-1的实数都是

B_{n}

的下界,但是最大的下界是-1,也即下确界为-1. 

当数列趋于无穷时,基数列收敛到-1,偶数列收敛到1。所有收敛子列极限中最大的极限为1,也即上极限为1;所有收敛子列极限中最小的极限为-1,也即下极限为-1,

上面的例子和描述只是从感性层面来讲的,下面顺带给出更加严格一点的定义

一维点集上确界定义:
考虑一维欧氏空间

继续阅读“数列的上/下确界与上/下极限的区别和联系”

C语言字符串输入方法总结

1.一定要先初始化指针。采用类似于char * pointer;的方式仅仅是声明了一个叫pointer的指针并给指针本身分配了内存。但这个指针本身的值是不确定的,指针胡乱指向任意内存中,此时对这个指针对应的地址操作会造成致命的问题。

2.字符串“zbcdefg”本身是一个地址,其值为第一个字母(本例中为z)所储存地方的地址。因此可以采用pointer=”abcdefg”的方式给指针赋值,因为右边是一个地址,就好像数组名称其实也是第一个元素对应的地址的另一种表示方法,二者完全等价。

3.scanf函数:用转换说明%s一次只能读取一个单词。更像是“获取单词”的函数,从第一个非空白字符作为起点,以下一个空白字符(空格,换行符,空行,制表符)作为结束。空白字符依旧会保留在输入流里面。scanf返回值为成功读取的项数或者EOF(文件结尾)。

4.gets(char*)函数读取整行输入,直到遇到第一个换行符,然后丢弃换行符。与此对应,puts函数在末尾自动添加换行符。gets的危险之处在于如果元素比声明的多,会发生缓冲区溢出(buffer overflow),puts本身不检验预防这种情况的发生。

fgets:第二个字符指明读入字符的最大数量,第三个指明传入流的来源。该函数保留读取到的所有换行符,如果超过了指定长度,丢弃剩下的!(换行符自然也就没有地方添加啦)fputs经常和它搭配使用,前者输出的时候不会在末尾增加换行符,否则有可能输出空行。fgets返回一个指向char的指针,地址为第一个字符的地址或者当它碰到文件结尾的时候返回NULL(空指针),保证不指向任何一个有意义的内存。fgets经常有处理换行符的麻烦。

gets_s:只从标准输入stdin中读取数据,不需要第三个参数。gets_s(words,length);函数丢弃换行符。如果到允许的末尾依旧没有找到换行符,任性的gets_s会进行丧心病狂的一系列操作:把数组的首字符设置为空字符\0,读取并丢弃剩下的所有字符直到换行符或者文件结尾,然后返回空指针。